15. log₀.₅² x + log₀.₅ x - 2 ≥ 0

Решение:

1. Заметим, что log₀.₅² x = (log₀.₅ x)². Пусть t = log₀.₅ x. Тогда неравенство примет вид: t² + t - 2 ≥ 0
2. Найдем корни квадратного уравнения t² + t - 2 = 0:
   • D = 1² - 4 ⋅ 1 ⋅ (-2) = 1 + 8 = 9
   • t₁ = (-1 + √9) / 2 = (-1 + 3) / 2 = 1
   • t₂ = (-1 - √9) / 2 = (-1 - 3) / 2 = -2
3. Решим неравенство t² + t - 2 ≥ 0 методом интервалов: t ≤ -2 или t ≥ 1
4. Вернемся к переменной x:
   • log₀.₅ x ≤ -2 или log₀.₅ x ≥ 1
   • x ≥ (0.5)⁻² или x ≤ (0.5)¹ (знаки неравенств меняются, так как основание меньше 1)
   • x ≥ 4 или x ≤ 0.5
5. ОДЗ: x > 0. С учетом ОДЗ: x ≥ 4 или 0 < x ≤ 0.5