19. 2ˣ⁺¹ + 4ˣ ≤ 80

Решение:

$$2^{x+1} + 4^x \le 80$$

$$2 \cdot 2^x + (2^x)^2 \le 80$$

Пусть $$t = 2^x$$, тогда $$2t + t^2 \le 80$$

$$t^2 + 2t - 80 \le 0$$

Найдем корни квадратного уравнения $$t^2 + 2t - 80 = 0$$:

$$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-80) = 4 + 320 = 324 = 18^2$$

$$t_1 = \frac{-2 - 18}{2} = -10$$

$$t_2 = \frac{-2 + 18}{2} = 8$$

Решением неравенства является $$-10 \le t \le 8$$.

Так как $$t = 2^x > 0$$, то $$0 < t \le 8$$.

Следовательно, $$0 < 2^x \le 8$$

$$2^x \le 2^3$$

$$x \le 3$$

Ответ: $$x \le 3$$