log₄ x ≤ 2

Решение:

Смотри, тут всё просто: у нас есть логарифмическое неравенство log₄ x ≤ 2. Наша задача - найти, каким должен быть x, чтобы это неравенство выполнялось.

1. Представим число 2 в виде логарифма по основанию 4:

   Чтобы решить неравенство, нам нужно, чтобы с обеих сторон стояли логарифмы с одинаковым основанием. Мы можем представить 2 как log₄ 4². Логика такая:

   \[\log_4 x \le 2\]

   \[\log_4 x \le \log_4 4^2\]

2. Упростим правую часть:

   4² это 16, так что теперь у нас:

   \[\log_4 x \le \log_4 16\]

3. Избавимся от логарифмов:

   Теперь, когда у нас логарифмы с одинаковым основанием с обеих сторон неравенства, мы можем просто сравнить аргументы (то, что находится внутри логарифма). Важно помнить, что основание логарифма (в данном случае 4) больше 1, поэтому знак неравенства не меняется:

   \[x \le 16\]

4. Учитываем область определения логарифма:

   Логарифм существует только для положительных чисел, поэтому x должен быть больше 0:

   \[x > 0\]

5. Запишем окончательный ответ:

   Объединяем оба условия: x должен быть больше 0 и меньше или равен 16. Это можно записать в виде интервала:

   \[0 < x \le 16\]

Проверка за 10 секунд: Подставь x = 16 в исходное неравенство: log₄ 16 = 2, что удовлетворяет неравенству. Подставь x = 1: log₄ 1 = 0, что тоже удовлетворяет неравенству. Значит, решение выглядит правдоподобно.

Запомни: Всегда проверяй область определения логарифма при решении логарифмических неравенств и уравнений. Это поможет избежать ошибок!