782. Решите уравнение (х – 7)² = 2x² + 11x + 23.

Решение:

1. Раскроем скобки в левой части уравнения: \( (x - 7)^2 = x^2 - 14x + 49 \).
2. Уравнение примет вид: \( x^2 - 14x + 49 = 2x^2 + 11x + 23 \).
3. Перенесём все члены уравнения в левую часть: \( x^2 - 2x^2 - 14x - 11x + 49 - 23 = 0 \).
4. Приведём подобные члены: \( -x^2 - 25x + 26 = 0 \).
5. Умножим уравнение на -1 для удобства: \( x^2 + 25x - 26 = 0 \).
6. Определим коэффициенты квадратного уравнения: \( a = 1 \), \( b = 25 \), \( c = -26 \).
7. Найдём дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (25)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-26) = 625 + 104 = 729 \).
8. Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня.
9. Найдём корни по формуле: \( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \)
10. \( x_1 = \frac{-25 + \sqrt{729}}{2 \cdot 1} = \frac{-25 + 27}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)
11. \( x_2 = \frac{-25 - \sqrt{729}}{2 \cdot 1} = \frac{-25 - 27}{2} = \frac{-52}{2} = -26 \)

Ответ: \( x_1 = 1 \), \( x_2 = -26 \).