780. Решите уравнение (x - 1)² = 2x²-6x – 31.

Решение:

1. Раскроем скобки в левой части уравнения: \( (x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1 \).
2. Уравнение примет вид: \( x^2 - 2x + 1 = 2x^2 - 6x - 31 \).
3. Перенесём все члены уравнения в левую часть: \( x^2 - 2x^2 - 2x + 6x + 1 + 31 = 0 \).
4. Приведём подобные члены: \( -x^2 + 4x + 32 = 0 \).
5. Умножим уравнение на -1 для удобства: \( x^2 - 4x - 32 = 0 \).
6. Определим коэффициенты квадратного уравнения: \( a = 1 \), \( b = -4 \), \( c = -32 \).
7. Найдём дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-32) = 16 + 128 = 144 \).
8. Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня.
9. Найдём корни по формуле: \( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \)
10. \( x_1 = \frac{4 + \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 12}{2} = \frac{16}{2} = 8 \)
11. \( x_2 = \frac{4 - \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 12}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \)

Ответ: \( x_1 = 8 \), \( x_2 = -4 \).