6. Периметр равнобедренного треугольника равен 216, а боковая сторона — 78. Найдите площадь треугольника.

Дано: Равнобедренный треугольник, периметр P = 216, боковая сторона b = 78.

Решение:

1. Найдем основание треугольника a:
   \[ P = 2b + a \]
   \[ 216 = 2 × 78 + a \]
   \[ 216 = 156 + a \]
   \[ a = 216 - 156 = 60 \]
2. Высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание, делит его пополам. Получится два прямоугольных треугольника с гипотенузой 78 и одним катетом 60 / 2 = 30.
3. Найдем высоту h по теореме Пифагора:
   \[ h^2 + 30^2 = 78^2 \]
   \[ h^2 = 78^2 - 30^2 \]
   \[ h^2 = (78 - 30)(78 + 30) = 48 × 108 = 5184 \]
   \[ h = √{5184} = 72 \]
4. Площадь треугольника:
   \[ S = \frac{1}{2} × основание × высота = \frac{1}{2} × 60 × 72 = 30 × 72 = 2160 \]

Ответ: 2160