18. В равнобедренной трапеции основания равны 3 и 9, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь трапеции.

Дано: Равнобедренная трапеция, основания a = 9, b = 3, угол при основании 45°.

Решение:

1. Площадь трапеции вычисляется по формуле:
   \[ S = \frac{a+b}{2} × h \]
2. Нам нужно найти высоту h. Проведем высоту из вершины меньшего основания к большему. Отрезок, отсекаемый высотой от большего основания, равен полуразности оснований:
   \[ x = \frac{a-b}{2} = \frac{9-3}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]
3. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной, высотой h и отрезком x. Угол при основании равен 45°, значит, второй острый угол равен 90° - 45° = 45°.
4. Так как углы при основании равны 45°, то треугольник равнобедренный, а значит, высота h равна отрезку x.
5. \[ h = x = 3 \]
6. Теперь найдем площадь трапеции:
   \[ S = \frac{9+3}{2} × 3 = \frac{12}{2} × 3 = 6 × 3 = 18 \]

Ответ: 18