34. Докажите равенство треугольников по двум сторонам и медиане, проведённой к одной из них.

Пусть в двух треугольниках равны две соответствующие стороны b и c, а также медианы mₐ, проведённые к третьим сторонам a и a′ соответственно. По теореме Аполлония для каждого треугольника:

4mₐ² = 2b² + 2c² − a².

Так как b, c и mₐ в обоих треугольниках равны, из этого равенства однозначно определяется квадрат третьей стороны: a² = 2b² + 2c² − 4mₐ². Длины сторон положительны, поэтому a = a′. Таким образом, равны все три соответствующие стороны, и треугольники равны по трём сторонам.