25. Докажите, что треугольник ABC равнобедренный, если у него: 1) медиана BD является высотой; 2) высота BD является биссектрисой; 3) биссектриса BD является медианой.

1. Если BD — медиана и высота, то AD = DC, BD — общая сторона, а углы ADB и CDB прямые. Треугольники ABD и CBD равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому AB = CB.
2. Если BD — высота и биссектриса, то ∠ADB = ∠CDB = 90°, ∠ABD = ∠DBC, а BD — общая сторона. Треугольники ABD и CBD равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Поэтому AB = CB.
3. Если BD — биссектриса и медиана, то AD = DC. По теореме о биссектрисе AB/BC = AD/DC = 1, значит, AB = BC.

Ответ: во всех трёх случаях AB = BC, поэтому ABC равнобедренный.