23. Докажите равенство треугольников по углу, биссектрисе этого угла и стороне, прилежащей к этому углу.

Рассмотрим два треугольника ABC и A′B′C′, у которых равны углы при вершинах A и A′, длины проведённых из этих вершин биссектрис и соответствующие прилежащие стороны AB = A′B′. Пусть биссектрисы пересекают противоположные стороны в точках D и D′.

1. Поскольку AD и A′D′ — биссектрисы равных углов, ∠BAD = ∠B′A′D′.
2. В треугольниках ABD и A′B′D′ равны AB = A′B′, AD = A′D′ и угол между ними. Значит, эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними.
3. Отсюда равны углы ADB и A′D′B′. Так как точки B, D, C лежат на одной прямой и точки B′, D′, C′ — на одной прямой, углы ADC и A′D′C′ также равны.
4. Углы DAC и D′A′C′ равны как половины равных углов при A и A′. Стороны AD и A′D′ равны. Поэтому треугольники ADC и A′D′C′ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.
5. Следовательно, исходные треугольники ABC и A′B′C′ равны.