50. Отрезок ВС пересекает прямую а в точке О. Расстояния от точек В и С до прямой а равны. Докажите, что точка О является серединой отрезка ВС.

Доказательство:

Пусть дан отрезок BC, который пересекает прямую a в точке O. Расстояния от точек B и C до прямой a равны, то есть BB' = CC', где B' и C' - основания перпендикуляров, опущенных из точек B и C на прямую a. Нужно доказать, что точка O является серединой отрезка BC, то есть BO = CO.

Рассмотрим треугольники BBO' и CCO'. У них BB' = CC' (по условию), ∠B' = ∠C' = 90° (так как BB' и CC' - перпендикуляры к прямой a), ∠BOB' = ∠COC' (как вертикальные углы).

Следовательно, треугольники BBO' и CCO' равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: BO = CO.

Ответ: Доказано, что точка O является серединой отрезка BC.