43. Докажите, что в прямоугольном треугольнике с углом 30° катет, противолежащий этому углу, равен половине гипотенузы.

Доказательство:

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC с ∠C = 90° и ∠A = 30°. Нужно доказать, что катет BC равен половине гипотенузы AB.

Рассмотрим треугольник ABD, полученный путем отражения треугольника ABC относительно катета AC. Тогда ∠D = ∠A = 30°, и треугольник ABD равнобедренный с основанием BD. Следовательно, AD = AB.

∠BAD = ∠BAC + ∠CAD = 30° + 30° = 60°.

Так как треугольник ABD равнобедренный с углом 60°, то он равносторонний: AB = BD = AD.

Так как AC - высота и медиана треугольника ABD, то BC = CD = BD/2.

Так как BD = AB, то BC = AB/2.

Ответ: Доказано, что в прямоугольном треугольнике с углом 30° катет, противолежащий этому углу, равен половине гипотенузы.