39. Дан треугольник АВС. На продолжении стороны АС отложены отрезки AD = AB и СЕ СВ (рис. 89). Как найти углы треугольника DBE, зная углы треугольника ABC?

Решение:

Пусть углы треугольника АВС известны: ∠A = α, ∠B = β, ∠C = γ.

Рассмотрим треугольник ABD. Так как AD = AB, то треугольник ABD равнобедренный с основанием BD. Тогда углы при основании равны: ∠ADB = ∠ABD = (180° - ∠A) / 2 = (180° - α) / 2 = 90° - α/2.

Аналогично, рассмотрим треугольник BCE. Так как CE = CB, то треугольник BCE равнобедренный с основанием BE. Тогда углы при основании равны: ∠CEB = ∠CBE = (180° - ∠C) / 2 = (180° - γ) / 2 = 90° - γ/2.

∠DВE = 180° - ∠ABD - ∠CBE = 180° - (90° - α/2) - (90° - γ/2) = α/2 + γ/2 = (α + γ) / 2.

Так как α + β + γ = 180°, то α + γ = 180° - β. Следовательно, ∠DВE = (180° - β) / 2 = 90° - β/2.

∠BDE = ∠ADB = 90° - α/2.

∠BЕD = ∠CEB = 90° - γ/2.

Таким образом, углы треугольника DBE можно найти по формулам:

• ∠DBE = 90° - β/2
• ∠BDE = 90° - α/2
• ∠BЕD = 90° - γ/2

Ответ: Углы треугольника DBE можно найти, используя формулы, выраженные через углы треугольника ABC.