48. Докажите, что все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство:

Пусть дан треугольник ABC. Проведем биссектрисы углов A и B. Они пересекутся в некоторой точке O, так как не параллельны. (Биссектрисы параллельны, когда сумма углов A и B больше 180 градусов, но этого не может быть в треугольнике.) Необходимо доказать, что биссектриса угла C также проходит через точку O.

Так как точка O лежит на биссектрисе угла A, то она равноудалена от сторон AB и AC. Так как точка O лежит на биссектрисе угла B, то она равноудалена от сторон AB и BC. Следовательно, точка O равноудалена от сторон AC и BC.

Геометрическое место точек, равноудаленных от двух прямых, - это биссектриса угла, образованного этими прямыми. Таким образом, точка O лежит на биссектрисе угла C.

Ответ: Доказано, что все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.