8. Сумма двух чисел равна 85. Найдите эти числа, если известно, что \(\frac{2}{3}\) одного равны \(\frac{3}{4}\) другого.

Решение:

Пусть одно число будет \( x \), а другое — \( y \).

По условию:

\(\begin{cases} x + y = 85 \\ \frac{2}{3}x = \frac{3}{4}y \end{cases}\)

Из второго уравнения выразим \( x \):

\[x = \frac{3}{4}y \cdot \frac{3}{2}\]

\[x = \frac{9}{8}y\]

Подставим это выражение в первое уравнение:

\[\frac{9}{8}y + y = 85\]

\[\frac{9}{8}y + \frac{8}{8}y = 85\]

\[\frac{17}{8}y = 85\]

\[y = 85 \cdot \frac{8}{17}\]

\[y = 5 \cdot 8 = 40\]

Теперь найдём \( x \):

\[x = 85 - y = 85 - 40 = 45\]

Проверим второе условие: \(\frac{2}{3} \cdot 45 = 2 \cdot 15 = 30\) и \(\frac{3}{4} \cdot 40 = 3 \cdot 10 = 30\). Условия выполняются.

Ответ: 45 и 40.