10. Найдите все значения а, при которых система \(\begin{cases} 7x - 2ay = 5 \\ (4-5a)x - 4ay = 7 \end{cases}\) не имеет решений.

Решение:

Система линейных уравнений \(\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}\) не имеет решений, если \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}\).

В нашем случае:

\(a_1 = 7, b_1 = -2a, c_1 = 5\)

\(a_2 = 4-5a, b_2 = -4a, c_2 = 7\)

Приравняем коэффициенты при \(x\) и \(y\):

\[\frac{7}{4-5a} = \frac{-2a}{-4a}\]

Упростим правую часть (при \(a \neq 0\)):

\[\frac{-2a}{-4a} = \frac{1}{2}\]

Теперь решим уравнение:

\[\frac{7}{4-5a} = \frac{1}{2}\]

\[7 \cdot 2 = 1 \cdot (4-5a)\]

\[14 = 4 - 5a\]

\[5a = 4 - 14\]

\[5a = -10\]

\[a = -2\]

Теперь проверим условие \(\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{c_1}{c_2}\) при \(a = -2\):

\[\frac{7}{4-5(-2)} = \frac{7}{4+10} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2}\]

\[\frac{c_1}{c_2} = \frac{5}{7}\]

Так как \(\frac{1}{2} \neq \frac{5}{7}\), условие \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}\) выполняется при \(a = -2\).

Рассмотрим случай \(a=0\):

Система: \(\begin{cases} 7x = 5 \\ 4x = 7 \end{cases}\) → \(x = \frac{5}{7}\) и \(x = \frac{7}{4}\), что невозможно. Значит, \(a \neq 0\).

Ответ: \(a = -2\).