10. Найдите все значения а, при которых система \(\begin{cases} 2x - ay = 15 \\ ax - 2y = 5 \end{cases}\) не имеет решений.

Решение:

Система линейных уравнений \(\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}\) не имеет решений, если \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}\).

В нашем случае:

\(a_1 = 2, b_1 = -a, c_1 = 15\)

\(a_2 = a, b_2 = -2, c_2 = 5\)

Приравняем коэффициенты при \(x\) и \(y\):

\[\frac{2}{a} = \frac{-a}{-2}\]

\[\frac{2}{a} = \frac{a}{2}\]

\[4 = a^2\]

\[a = 2 \text{ или } a = -2\]

Теперь проверим условие \(\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{c_1}{c_2}\).

Случай 1: \(a = 2\).

\[\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{2} = 1\]

\[\frac{b_1}{b_2} = \frac{-2}{-2} = 1\]

\[\frac{c_1}{c_2} = \frac{15}{5} = 3\]

Так как \(1 = 1 \neq 3\), система не имеет решений при \(a = 2\).

Случай 2: \(a = -2\).

\[\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{-2} = -1\]

\[\frac{b_1}{b_2} = \frac{-(-2)}{-2} = \frac{2}{-2} = -1\]

\[\frac{c_1}{c_2} = \frac{15}{5} = 3\]

Так как \(-1 = -1 \neq 3\), система не имеет решений при \(a = -2\).

Ответ: \(a = 2; a = -2\).