4 Упростите выражение: а) 6а⁴у⁻² : а⁻²у⁴; б) (c³x⁻⁴)⁻² / c⁻⁶x⁻⁶.

Решение:

а) Упростим выражение \( 6a^4y^{-2} : a^{-2}y^4 \):

\( 6a^4y^{-2} : a^{-2}y^4 = \frac{6a^4y^{-2}}{a^{-2}y^4} \)

Используем свойства степеней \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \) и \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \):

\( = 6 \cdot a^{4 - (-2)} \cdot y^{-2 - 4} \)

\( = 6 \cdot a^{4+2} \cdot y^{-6} \)

\( = 6a^6y^{-6} = \frac{6a^6}{y^6} \)

б) Упростим выражение \( \frac{(c^3x^{-4})^{-2}}{c^{-6}x^{-6}} \):

Сначала раскроем скобки в числителе, используя свойство \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \):

\( (c^3x^{-4})^{-2} = c^{3 \cdot (-2)} x^{-4 \cdot (-2)} = c^{-6}x^8 \)

Теперь подставим это обратно в дробь:

\( \frac{c^{-6}x^8}{c^{-6}x^{-6}} \)

Используем свойство \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \):

\( = c^{-6 - (-6)} \cdot x^{8 - (-6)} \)

\( = c^{-6+6} \cdot x^{8+6} \)

\( = c^0 \cdot x^{14} \)

Поскольку \( c^0 = 1 \), получаем:

\( 1 \cdot x^{14} = x^{14} \)

Ответ: а) \( \frac{6a^6}{y^6} \); б) \( x^{14} \)