10 Сократите дробь 8·100ⁿ / (2²ⁿ⁺¹·5²ⁿ⁻²).

Решение:

Чтобы сократить дробь \( \frac{8 \cdot 100^n}{2^{2n+1} \cdot 5^{2n-2}} \), представим все основания в виде простых множителей.

1. Представим \( 8 \) как \( 2^3 \) и \( 100 \) как \( 10^2 = (2 \cdot 5)^2 = 2^2 \cdot 5^2 \).

\( \frac{2^3 \cdot (2^2 \cdot 5^2)^n}{2^{2n+1} \cdot 5^{2n-2}} = \frac{2^3 \cdot (2^{2n} \cdot 5^{2n})}{2^{2n+1} \cdot 5^{2n-2}} \)

2. Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями в числителе:

\( \frac{2^{3+2n} \cdot 5^{2n}}{2^{2n+1} \cdot 5^{2n-2}} \)

3. При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются. Выполним вычитание для основания 2:

\( 2^{(3+2n) - (2n+1)} = 2^{3+2n-2n-1} = 2^2 \)

4. Выполним вычитание для основания 5:

\( 5^{2n - (2n-2)} = 5^{2n-2n+2} = 5^2 \)

Теперь перемножим полученные степени:

\( 2^2 \cdot 5^2 = 4 \cdot 25 = 100 \)

Ответ: 100.