*11 Сравните x² и x⁻², если известно, что x < -1. Запишите свои рассуждения. Приведите конкретный пример, иллюстрирующий ваш вывод.

Решение:

Дано условие: \( x < -1 \).

Рассмотрим выражение \( x^2 \). Поскольку \( x \) отрицательно, \( x^2 \) будет положительным. Например, если \( x = -2 \), то \( x^2 = (-2)^2 = 4 \).

Рассмотрим выражение \( x^{-2} \). Оно равно \( \frac{1}{x^2} \).

Так как \( x < -1 \), то \( x^2 > (-1)^2 \), то есть \( x^2 > 1 \). Это означает, что \( x^2 \) — это число, большее 1.

Теперь рассмотрим \( x^{-2} = \frac{1}{x^2} \). Так как \( x^2 > 1 \), то \( \frac{1}{x^2} < 1 \). Например, если \( x^2 = 4 \), то \( x^{-2} = \frac{1}{4} \).

Сравниваем \( x^2 \) и \( x^{-2} \).

Мы знаем, что \( x^2 > 1 \) и \( x^{-2} < 1 \).

Следовательно, \( x^2 \) всегда будет больше, чем \( x^{-2} \) при условии \( x < -1 \).

Конкретный пример:

Пусть \( x = -3 \). Условие \( x < -1 \) выполняется.

• \( x^2 = (-3)^2 = 9 \)


• \( x^{-2} = (-3)^{-2} = \frac{1}{(-3)^2} = \frac{1}{9} \)

Сравниваем \( 9 \) и \( \frac{1}{9} \).

\( 9 > \frac{1}{9} \).

Вывод: При \( x < -1 \) значение \( x^2 \) всегда больше значения \( x^{-2} \).

Ответ: \( x^2 > x^{-2} \)