9 Расположите в порядке возрастания числа (3/5)⁻⁴, (5/3)⁻³, 3/5, (5/3)⁰

Решение:

Для того чтобы расположить числа в порядке возрастания, приведём их к более удобному виду.

1. \( \left(\frac{3}{5}\right)^{-4} = \left(\frac{5}{3}\right)^4 \)

2. \( \left(\frac{5}{3}\right)^{-3} \)

3. \( \frac{3}{5} \)

4. \( \left(\frac{5}{3}\right)^0 = 1 \)

Теперь сравним \( \left(\frac{5}{3}\right)^4 \) и \( \left(\frac{5}{3}\right)^{-3} \).

Так как \( \frac{5}{3} > 1 \), то функция \( y = \left(\frac{5}{3}\right)^x \) является возрастающей. Следовательно, чем больше показатель степени, тем больше значение степени.

\( -3 < 4 \), значит \( \left(\frac{5}{3}\right)^{-3} < \left(\frac{5}{3}\right)^4 \).

Сравним \( \frac{3}{5} \) и \( \left(\frac{5}{3}\right)^0 = 1 \). Поскольку \( \frac{3}{5} < 1 \), то \( \frac{3}{5} < 1 \).

Сравним \( \frac{3}{5} \) и \( \left(\frac{5}{3}\right)^{-3} \). Так как \( \frac{3}{5} = \left(\frac{3}{5}\right)^1 \) и \( \left(\frac{5}{3}\right)^{-3} = \left(\frac{3}{5}\right)^3 \).

Поскольку \( 1 < 3 \) и основание \( \frac{3}{5} < 1 \), то \( \left(\frac{3}{5}\right)^1 > \left(\frac{3}{5}\right)^3 \), то есть \( \frac{3}{5} > \left(\frac{5}{3}\right)^{-3} \).

Итак, мы имеем:

\( \left(\frac{5}{3}\right)^{-3} \) (наименьшее отрицательное число) \( < \) \( \frac{3}{5} \) \( < \) \( \left(\frac{5}{3}\right)^0 = 1 \) \( < \) \( \left(\frac{3}{5}\right)^{-4} = \left(\frac{5}{3}\right)^4 \).

Ответ: \( \left(\frac{5}{3}\right)^{-3}, \frac{3}{5}, \left(\frac{5}{3}\right)^0, \left(\frac{3}{5}\right)^{-4} \).