16. Найдите значение выражения \(\left(\frac{3x^2}{a^4}\right)^3:\left(\frac{a^3x}{3a^4}\right)^4\) при \(a=x=-\frac{1}{25}\).

Решение:

Упростим выражение:

\[ \left(\frac{3x^2}{a^4}\right)^3:\left(\frac{a^3x}{3a^4}\right)^4 = \frac{27x^6}{a^{12}}:\left(\frac{x}{3a}\right)^4 = \frac{27x^6}{a^{12}}:\frac{x^4}{81a^4} = \frac{27x^6}{a^{12}}\cdot\frac{81a^4}{x^4} = \frac{27\cdot81x^2}{a^8} \]

Подставим \(a=x=-\frac{1}{25}\):

\[ \frac{27\cdot81(-\frac{1}{25})^2}{(-\frac{1}{25})^8} = \frac{27\cdot81\cdot\frac{1}{625}}{\frac{1}{25^8}} = 27\cdot81\cdot\frac{25^8}{625} = 27\cdot81\cdot25^6 \]

Это очень большое число. Проверим условие \(a=x=-\frac{1}{25}\) и \(\frac{3x^2}{a^4}\) и \(\frac{a^3x}{3a^4}\).

Если \(a=x\), то \(\frac{3x^2}{a^4} = \frac{3x^2}{x^4} = \frac{3}{x^2}\) и \(\frac{a^3x}{3a^4} = \frac{x^3x}{3x^4} = \frac{x^4}{3x^4} = \frac{1}{3}\).

Выражение становится:

\[ \left(\frac{3}{x^2}\right)^3:\left(\frac{1}{3}\right)^4 = \frac{27}{x^6}:\frac{1}{81} = \frac{27}{x^6}\cdot81 = \frac{27\cdot81}{x^6} \]

Подставим \(x=-\frac{1}{25}\):

\[ \frac{27\cdot81}{(-\frac{1}{25})^6} = 27\cdot81\cdot25^6 \]

Ответ: \(2187 \cdot 25^6\)