3. Решите уравнение: 8х2 - 39x + √x-2 = √x-2+5

Решим уравнение: $$8x^2 - 39x + \sqrt{x-2} = \sqrt{x-2} + 5$$

1. Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$$8x^2 - 39x + \sqrt{x-2} - \sqrt{x-2} - 5 = 0$$

2. Упростим уравнение:

$$8x^2 - 39x - 5 = 0$$

3. Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$$D = (-39)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-5) = 1521 + 160 = 1681$$

4. Найдем корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-(-39) + \sqrt{1681}}{2 \cdot 8} = \frac{39 + 41}{16} = \frac{80}{16} = 5$$

$$x_2 = \frac{-(-39) - \sqrt{1681}}{2 \cdot 8} = \frac{39 - 41}{16} = \frac{-2}{16} = -\frac{1}{8}$$

5. Сделаем проверку, подставив найденные значения в исходное уравнение.

Для $$x_1 = 5$$:

$$8 \cdot 5^2 - 39 \cdot 5 + \sqrt{5-2} = \sqrt{5-2} + 5$$

$$8 \cdot 25 - 195 + \sqrt{3} = \sqrt{3} + 5$$

$$200 - 195 + \sqrt{3} = \sqrt{3} + 5$$

$$5 + \sqrt{3} = \sqrt{3} + 5$$

Корень подходит.

Для $$x_2 = -\frac{1}{8}$$:

$$8 \cdot (-\frac{1}{8})^2 - 39 \cdot (-\frac{1}{8}) + \sqrt{-\frac{1}{8}-2} = \sqrt{-\frac{1}{8}-2} + 5$$

$$8 \cdot \frac{1}{64} + \frac{39}{8} + \sqrt{-\frac{1}{8}-\frac{16}{8}} = \sqrt{-\frac{1}{8}-\frac{16}{8}} + 5$$

$$\frac{1}{8} + \frac{39}{8} + \sqrt{-\frac{17}{8}} = \sqrt{-\frac{17}{8}} + 5$$

$$\frac{40}{8} + \sqrt{-\frac{17}{8}} = \sqrt{-\frac{17}{8}} + 5$$

$$5 + \sqrt{-\frac{17}{8}} = \sqrt{-\frac{17}{8}} + 5$$

Корень не подходит, так как под знаком корня отрицательное число.

Ответ: $$x = 5$$