5. Решите уравнение: 5х2 - 32х + √x-3=√x-3+21

Решим уравнение: $$5x^2 - 32x + \sqrt{x-3} = \sqrt{x-3} + 21$$

1. Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$$5x^2 - 32x + \sqrt{x-3} - \sqrt{x-3} - 21 = 0$$

2. Упростим уравнение:

$$5x^2 - 32x - 21 = 0$$

3. Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$$D = (-32)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-21) = 1024 + 420 = 1444$$

4. Найдем корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-(-32) + \sqrt{1444}}{2 \cdot 5} = \frac{32 + 38}{10} = \frac{70}{10} = 7$$

$$x_2 = \frac{-(-32) - \sqrt{1444}}{2 \cdot 5} = \frac{32 - 38}{10} = \frac{-6}{10} = -\frac{3}{5}$$

5. Сделаем проверку, подставив найденные значения в исходное уравнение.

Для $$x_1 = 7$$:

$$5 \cdot 7^2 - 32 \cdot 7 + \sqrt{7-3} = \sqrt{7-3} + 21$$

$$5 \cdot 49 - 224 + \sqrt{4} = \sqrt{4} + 21$$

$$245 - 224 + 2 = 2 + 21$$

$$21 + 2 = 2 + 21$$

$$23 = 23$$

Корень подходит.

Для $$x_2 = -\frac{3}{5}$$:

$$5 \cdot (-\frac{3}{5})^2 - 32 \cdot (-\frac{3}{5}) + \sqrt{-\frac{3}{5}-3} = \sqrt{-\frac{3}{5}-3} + 21$$

$$5 \cdot \frac{9}{25} + \frac{96}{5} + \sqrt{-\frac{3}{5}-\frac{15}{5}} = \sqrt{-\frac{3}{5}-\frac{15}{5}} + 21$$

$$\frac{9}{5} + \frac{96}{5} + \sqrt{-\frac{18}{5}} = \sqrt{-\frac{18}{5}} + 21$$

$$\frac{105}{5} + \sqrt{-\frac{18}{5}} = \sqrt{-\frac{18}{5}} + 21$$

$$21 + \sqrt{-\frac{18}{5}} = \sqrt{-\frac{18}{5}} + 21$$

Корень не подходит, так как под знаком корня отрицательное число.

Ответ: $$x = 7$$