8. Угол АОВ= 120°. Проведите луч ОС так, чтобы угол АОС равнялся 60° (рассмотрите два случая) <br> 1) Чему равен угол СОВ? <br> 2) Каким углом: острым, тупым или развёрнутым является угол СОВ? <br> 3) Является ли луч ОС биссектрисой угла АОВ?

Решение:

1) Чему равен угол СОВ?

Случай 1: Луч ОС лежит между лучами ОА и ОВ.

В этом случае \( \angle AOB = \angle AOC + \angle COB \).

\( 120^{\circ} = 60^{\circ} + \angle COB \).

\( \angle COB = 120^{\circ} - 60^{\circ} = 60^{\circ} \).

Случай 2: Луч ОВ лежит между лучами ОА и ОС.

В этом случае \( \angle AOC = \angle AOB + \angle BOC \).

\( 60^{\circ} = 120^{\circ} + \angle BOC \).

\( \angle BOC = 60^{\circ} - 120^{\circ} = -60^{\circ} \). Угол не может быть отрицательным, значит, этот случай невозможен при такой постановке вопроса.

Случай 3: Луч ОА лежит между лучами ОС и ОВ.

В этом случае \( \angle COB = \angle COA + \angle AOB \).

\( \angle COB = 60^{\circ} + 120^{\circ} = 180^{\circ} \).

2) Каким углом: острым, тупым или развёрнутым является угол СОВ?

В Случае 1: \( \angle COB = 60^{\circ} \). Это острый угол.

В Случае 3: \( \angle COB = 180^{\circ} \). Это развёрнутый угол.

3) Является ли луч ОС биссектрисой угла АОВ?

Биссектриса делит угол пополам. Угол \( \angle AOB = 120^{\circ} \).

В Случае 1: \( \angle AOC = 60^{\circ} \) и \( \angle COB = 60^{\circ} \). Так как \( \angle AOC = \angle COB = \angle AOB / 2 \), то луч ОС является биссектрисой угла АОВ.

В Случае 3: \( \angle AOC = 60^{\circ} \) и \( \angle COB = 180^{\circ} \). Луч ОС не делит угол АОВ пополам, значит, не является биссектрисой.

Ответ: 1) 60° или 180°. 2) Острым или развёрнутым. 3) Да, в первом случае.