10. Найдите неразвёрнутые углы, образованные при пересечении двух прямых, если <br> а) сумма двух из них равна 114°; <br> б) сумма трёх углов равна 220°.

Решение:

При пересечении двух прямых образуются четыре угла: два пары вертикальных углов. Вертикальные углы равны. Обозначим углы как \( \alpha \) и \( \beta \), где \( \alpha \) и \( \beta \) — смежные углы. Тогда \( \alpha + \beta = 180^{\circ} \). Пары равных углов: \( \alpha, \alpha \) и \( \beta, \beta \).

а) Сумма двух из них равна 114°.

Возможны два варианта:

1. Сумма двух смежных углов: \( \alpha + \beta = 114^{\circ} \). Но сумма смежных углов всегда равна 180°, поэтому этот случай невозможен.

2. Сумма двух равных (вертикальных) углов: \( \alpha + \alpha = 114^{\circ} \).

\( 2\alpha = 114^{\circ} \).

\( \alpha = 114^{\circ} / 2 = 57^{\circ} \).

Тогда \( \beta = 180^{\circ} - \alpha = 180^{\circ} - 57^{\circ} = 123^{\circ} \).

Углы равны 57°, 123°, 57°, 123°.

б) Сумма трёх углов равна 220°.

При пересечении двух прямых образуются два равных угла (например, \( \alpha \)) и два других равных угла (например, \( \beta \)), где \( \alpha + \beta = 180^{\circ} \).

Сумма трёх углов может быть:

1. \( \alpha + \alpha + \beta = 220^{\circ} \).

\( 2\alpha + \beta = 220^{\circ} \).

Подставим \( \beta = 180^{\circ} - \alpha \):

\( 2\alpha + (180^{\circ} - \alpha) = 220^{\circ} \).

\( \alpha + 180^{\circ} = 220^{\circ} \).

\( \alpha = 220^{\circ} - 180^{\circ} = 40^{\circ} \).

Тогда \( \beta = 180^{\circ} - 40^{\circ} = 140^{\circ} \).

Углы: 40°, 140°, 40°, 140°.

Проверим сумму трёх углов: 40° + 40° + 140° = 220°.

2. \( \alpha + \beta + \beta = 220^{\circ} \).

\( \alpha + 2\beta = 220^{\circ} \).

Подставим \( \alpha = 180^{\circ} - \beta \):

\( (180^{\circ} - \beta) + 2\beta = 220^{\circ} \).

\( 180^{\circ} + \beta = 220^{\circ} \).

\( \beta = 220^{\circ} - 180^{\circ} = 40^{\circ} \).

Тогда \( \alpha = 180^{\circ} - 40^{\circ} = 140^{\circ} \).

Это тот же набор углов: 140°, 40°, 40°, 140°.

Ответ: а) 57°, 123°, 57°, 123°; б) 40°, 140°, 40°, 140°.