8. Решите систему уравнений \( \begin{cases} \frac{2x+3y}{4} + \frac{3x-2y}{5} = \frac{23}{20}, \\ \frac{3x+4y}{2} + \frac{5x-y}{3} = \frac{22}{3} \end{cases} \)

Решение:

Упростим первое уравнение:

\( \frac{5(2x+3y) + 4(3x-2y)}{20} = \frac{23}{20} \)

\( 10x + 15y + 12x - 8y = 23 \)

\( 22x + 7y = 23 \) (1)

Упростим второе уравнение:

\( \frac{3(3x+4y) + 2(5x-y)}{6} = \frac{22}{3} \)

\( 9x + 12y + 10x - 2y = \frac{22}{3} \cdot 6 \)

\( 19x + 10y = 44 \) (2)

Теперь решим систему:

\( \begin{cases} 22x + 7y = 23 \\ 19x + 10y = 44 \end{cases} \)

Умножим первое уравнение на 10, второе на 7:

\( \begin{cases} 220x + 70y = 230 \\ 133x + 70y = 308 \end{cases} \)

Вычтем второе уравнение из первого:

\( (220x + 70y) - (133x + 70y) = 230 - 308 \)

\( 87x = -78 \)

\( x = \frac{-78}{87} = -\frac{26}{29} \)

Подставим \( x = -\frac{26}{29} \) во второе уравнение \( 19x + 10y = 44 \):

\( 19(-\frac{26}{29}) + 10y = 44 \)

\( -\frac{494}{29} + 10y = 44 \)

\( 10y = 44 + \frac{494}{29} = \frac{44 \cdot 29 + 494}{29} = \frac{1276 + 494}{29} = \frac{1770}{29} \)

\( y = \frac{1770}{29 \cdot 10} = \frac{177}{29} \)

Ответ: \( x = -\frac{26}{29}, y = \frac{177}{29} \).