2. Определите систему линейных уравнений, имеющую единственное решение:

Решение:

Система линейных уравнений имеет единственное решение, если её определитель отличен от нуля. Для системы \( \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} \) определитель равен \( a_1b_2 - a_2b_1 \).

• а) \( \begin{cases} x+y=7 \\ 2x+2y=14 \end{cases} \): \( 1 \cdot 2 - 2 \cdot 1 = 2 - 2 = 0 \). Решений бесконечно много.
• б) \( \begin{cases} x+y=7 \\ x-y=7 \end{cases} \): \( 1 \cdot (-1) - 1 \cdot 1 = -1 - 1 = -2 \). \( -2 \neq 0 \). Имеет единственное решение.
• в) \( \begin{cases} 2x+3y=7 \\ 3x+2y=14 \end{cases} \): \( 2 \cdot 2 - 3 \cdot 3 = 4 - 9 = -5 \). \( -5 \neq 0 \). Имеет единственное решение.
• г) \( \begin{cases} 5x-y=0 \\ 3x-2y=21 \end{cases} \): \( 5 \cdot (-2) - 3 \cdot (-1) = -10 + 3 = -7 \). \( -7 \neq 0 \). Имеет единственное решение.

Ответ: Системы б), в), г).