7. В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90°) проведена высота CD к гипотенузе AB. Известно, что AC = 6, BC = 8. Найдите длину высоты CD.

Решение:

Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить двумя способами:

1. Через катеты: \( S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC \)

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24 \]

2. Через гипотенузу и высоту: \( S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CD \)

Сначала найдем длину гипотенузы AB по теореме Пифагора:

\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]

\[ AB^2 = 6^2 + 8^2 \]

\[ AB^2 = 36 + 64 \]

\[ AB^2 = 100 \]

\[ AB = 10 \]

Теперь приравняем площади и найдем CD:

\[ 24 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot CD \]

\[ 24 = 5 \cdot CD \]

\[ CD = \frac{24}{5} = 4.8 \]

Ответ: 4.8.