1. В равнобедренной трапеции ABCD (AD || BC) известно, что ∠ADC = 45°, AB = 6. Найдите высоту трапеции.

Решение:

Проведем высоту BH из вершины B на основание AD. В прямоугольном треугольнике ABH:

• Так как трапеция равнобедренная, то ∠ADC = ∠BCD = 45°.
• Угол ∠BAD = ∠ABC.
• В прямоугольном треугольнике ABH, ∠BAH + ∠ABH = 90°.
• ∠ABH = 90° - 45° = 45°.
• Следовательно, треугольник ABH равнобедренный, BH = AH.
• По теореме Пифагора: BH² + AH² = AB².
• 2BH² = 6².
• 2BH² = 36.
• BH² = 18.
• BH = \(\sqrt{18}\) = \(3\sqrt{2}\).

Ответ: \(3\sqrt{2}\).