4. В треугольнике АВС отрезок DE — средняя линия. Площадь треугольника CDE равна 97. Найдите площадь треугольника АВС.

Решение:

Средняя линия \( DE \) в треугольнике \( ABC \) параллельна стороне \( AC \) и равна половине её длины: \( DE = \frac{1}{2} AC \).

Треугольник \( CDE \) подобен треугольнику \( CAB \) по двум углам (\(∠ C \) — общий, \(∠ CED = ∠ CAB \) как соответственные при \( DE || AC \) и секущей \( BC \)).

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Коэффициент подобия \( k \) треугольника \( CDE \) к \( CAB \) равен отношению их соответствующих сторон: \( k = \frac{CD}{CB} = \frac{CE}{CA} = \frac{DE}{AB} \).

Поскольку \( DE \) — средняя линия, то \( CD = \frac{1}{2} CB \) и \( CE = \frac{1}{2} CA \). Следовательно, коэффициент подобия \( k = \frac{1}{2} \).

Тогда отношение площадей \( \frac{S_{CDE}}{S_{CAB}} = k^2 = \big(\frac{1}{2}\big)^2 = \frac{1}{4} \).

Площадь треугольника \( ABC \) равна \( S_{CAB} = 4 × S_{CDE} \).

Дано, что \( S_{CDE} = 97 \).

\( S_{CAB} = 4 × 97 = 388 \).

Ответ: 388.