16. Из группы, состоящей из 7 юношей и 5 девушек, надо выбрать 4 человека так, чтобы среди них было не менее двух юношей. Сколькими способами это можно сделать?

Решение:

Всего в группе \( 7 + 5 = 12 \) человек. Нужно выбрать 4 человека. Условие: не менее двух юношей. Это значит, что в выбранной группе может быть 2 юноши, 3 юноши или 4 юноши.

Случай 1: 2 юноши и 2 девушки.

Выбрать 2 юношей из 7: \( C_7^2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2!5!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21 \).

Выбрать 2 девушек из 5: \( C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \).

Количество способов в этом случае: \( 21 \times 10 = 210 \).

Случай 2: 3 юноши и 1 девушка.

Выбрать 3 юношей из 7: \( C_7^3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35 \).

Выбрать 1 девушку из 5: \( C_5^1 = 5 \).

Количество способов в этом случае: \( 35 \times 5 = 175 \).

Случай 3: 4 юноши и 0 девушек.

Выбрать 4 юношей из 7: \( C_7^4 = \frac{7!}{4!(7-4)!} = \frac{7!}{4!3!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35 \).

Выбрать 0 девушек из 5: \( C_5^0 = 1 \).

Количество способов в этом случае: \( 35 \times 1 = 35 \).

Чтобы найти общее количество способов, нужно сложить количество способов для каждого случая (так как эти случаи несовместны).

\( 210 + 175 + 35 = 420 \)

Ответ: 420 способами.