10. В корзине лежит 8 морковок, 6 картошек, 5 огурцов. Сколькими способами можно выбрать 4 овоща из корзины? Сколькими способами можно выбрать 1 морковку и 2 картошки?

Решение:

Часть 1: Сколькими способами можно выбрать 4 овоща из корзины?

Всего овощей в корзине: \( 8 + 6 + 5 = 19 \).

Нужно выбрать 4 овоща из 19. Порядок выбора не имеет значения, поэтому используем формулу сочетаний.

\( C_{19}^4 = \frac{19!}{4!(19-4)!} = \frac{19!}{4!15!} = \frac{19 \times 18 \times 17 \times 16}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 19 \times 3 \times 17 \times 2 = 3876 \)

Часть 2: Сколькими способами можно выбрать 1 морковку и 2 картошки?

Выбрать 1 морковку из 8: \( C_8^1 = 8 \) способов.

Выбрать 2 картошки из 6: \( C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15 \) способов.

По правилу умножения, общее количество способов выбрать 1 морковку и 2 картошки равно произведению количества способов выбора каждого вида овоща.

\( 8 \times 15 = 120 \)

Ответ: 4 овоща из корзины можно выбрать 3876 способами. 1 морковку и 2 картошки можно выбрать 120 способами.