14. У одного студента имеется 5 различных карандашей, а у другого – 8. Сколькими способами они могут осуществить обмен: карандаш на карандаш? Два карандаша на два карандаша?

Решение:

Часть 1: Сколькими способами они могут осуществить обмен: карандаш на карандаш?

Первый студент выбирает 1 карандаш из своих 5. Количество способов: \( C_5^1 = 5 \).

Второй студент выбирает 1 карандаш из своих 8. Количество способов: \( C_8^1 = 8 \).

По правилу умножения, количество способов обмена 1 карандашом на 1 карандаш равно произведению количества способов выбора каждым студентом.

\( 5 \times 8 = 40 \)

Часть 2: Сколькими способами они могут осуществить обмен: два карандаша на два карандаша?

Первый студент выбирает 2 карандаша из своих 5. Количество способов: \( C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \).

Второй студент выбирает 2 карандаша из своих 8. Количество способов: \( C_8^2 = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8!}{2!6!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28 \).

По правилу умножения, количество способов обмена 2 карандашами на 2 карандаша равно произведению количества способов выбора каждым студентом.

\( 10 \times 28 = 280 \)

Ответ: Обмен карандаш на карандаш возможен 40 способами. Обмен два карандаша на два карандаша возможен 280 способами.