№12. (1 балл). Найдите площадь фигуры, вершины которой имеют координаты: (2;7), (6;3), (4;7).

Решение:

Данные вершины соответствуют треугольнику. Найдем площадь треугольника, используя формулу площади по координатам вершин.

Пусть вершины будут \( A(x_1, y_1) = (2, 7) \), \( B(x_2, y_2) = (6, 3) \), \( C(x_3, y_3) = (4, 7) \).

Площадь треугольника вычисляется по формуле:

\( S = \frac{1}{2} |(x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2))| \)

Подставим координаты вершин:

\( S = \frac{1}{2} |(2(3 - 7) + 6(7 - 7) + 4(7 - 3))| \)

\( S = \frac{1}{2} |(2(-4) + 6(0) + 4(4))| \)

\( S = \frac{1}{2} |(-8 + 0 + 16)| \)

\( S = \frac{1}{2} |8| \)

\( S = \frac{1}{2} \cdot 8 \)

\( S = 4 \)

Другой способ:

Заметим, что вершины A(2;7) и C(4;7) имеют одинаковую y-координату. Это означает, что сторона AC является горизонтальной. Длина основания AC равна \( |4 - 2| = 2 \).

Высота треугольника, проведенная к основанию AC, будет равна разности y-координат вершины B и y-координаты основания. Однако, вершина B(6;3) находится ниже основания AC. Проведем высоту из точки B на прямую y=7. Высота будет перпендикулярна оси Y. Вершина B имеет x=6, а основание AC находится на x=2 и x=4. Проведем высоту к основанию AC. Для этого найдем расстояние по вертикали от точки B до прямой y=7. Но это неверно. Высота должна быть перпендикулярна основанию.

Вернемся к тому, что AC - горизонтальное основание, его длина = \( |4-2| = 2 \). Ось Y вершины A и C - 7. Вершина B имеет координату Y = 3. Высота треугольника, проведенная из вершины B к основанию AC, будет равна разности y-координат: \( |7 - 3| = 4 \).

Площадь треугольника: \( S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота} \)

\( S = \frac{1}{2} \times 2 \times 4 \)

\( S = 4 \)

Ответ: 4.