№11. (1 балл). Найдите ООФ y = ln \(\frac{x^2-4x+4}{3-x}\)

Решение:

Область определения логарифмической функции определяется условием, что аргумент логарифма должен быть строго больше нуля.

\( \frac{x^2-4x+4}{3-x} > 0 \)

Числитель является полным квадратом:

\( x^2-4x+4 = (x-2)^2 \)

Таким образом, неравенство принимает вид:

\( \frac{(x-2)^2}{3-x} > 0 \)

Дробь будет положительной, если числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки. У нас числитель \( (x-2)^2 \) всегда неотрицателен.

• Случай 1: \( (x-2)^2 > 0 \) и \( 3-x > 0 \)

\( (x-2)^2 > 0 \) при \( x \neq 2 \).

\( 3-x > 0 \) => \( 3 > x \) => \( x < 3 \).

Объединяя условия, получаем \( x < 3 \) и \( x \neq 2 \).

• Случай 2: \( (x-2)^2 = 0 \) и \( 3-x > 0 \)

\( (x-2)^2 = 0 \) => \( x = 2 \).

\( 3-x > 0 \) => \( x < 3 \).

Условие \( x = 2 \) удовлетворяет \( x < 3 \).

Объединяя оба случая, получаем, что \( x < 3 \). Однако, в числителе \( (x-2)^2 \) может быть равно нулю, но тогда дробь будет равна нулю, что не удовлетворяет условию \( > 0 \). Поэтому \( x \neq 2 \) обязательно.

Следовательно, \( x < 3 \) и \( x \neq 2 \).

В виде интервалов это записывается как \( (-\infty; 2) \cup (2; 3) \).

Ответ: \( (-\infty; 2) \cup (2; 3) \).