В1. Решите задачу с помощью составления системы уравнений: Площадь прямоугольного треугольника равна 24 см³, а его гипотенуза равна 10 см. Каковы катеты треугольника?

Пусть a и b - катеты прямоугольного треугольника. Тогда площадь треугольника равна $$\frac{1}{2}ab = 24$$, откуда $$ab = 48$$. Гипотенуза равна 10 см, поэтому по теореме Пифагора $$a^2 + b^2 = 10^2 = 100$$.

Составим систему уравнений:

$$\begin{cases} ab = 48 \\ a^2 + b^2 = 100 \end{cases}$$

Из первого уравнения выразим b: $$b = \frac{48}{a}$$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$$a^2 + (\frac{48}{a})^2 = 100$$

$$a^2 + \frac{2304}{a^2} = 100$$

Умножим обе части уравнения на $$a^2$$:

$$a^4 + 2304 = 100a^2$$

$$a^4 - 100a^2 + 2304 = 0$$

Пусть $$t = a^2$$, тогда уравнение примет вид:

$$t^2 - 100t + 2304 = 0$$

Найдем дискриминант: $$D = (-100)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2304 = 10000 - 9216 = 784$$.

$$t_1 = \frac{100 + \sqrt{784}}{2} = \frac{100 + 28}{2} = 64$$

$$t_2 = \frac{100 - \sqrt{784}}{2} = \frac{100 - 28}{2} = 36$$

Найдем значения a:

• Если $$t = 64$$, то $$a = \sqrt{64} = 8$$.
• Если $$t = 36$$, то $$a = \sqrt{36} = 6$$.

Найдем соответствующие значения b:

• Если $$a = 8$$, то $$b = \frac{48}{8} = 6$$.
• Если $$a = 6$$, то $$b = \frac{48}{6} = 8$$.

Таким образом, катеты треугольника равны 6 см и 8 см.

Ответ: 6 см и 8 см.