15. Подобрав соответствующую замену, решите уравнение \(3x^2 + 3x + \sqrt{x^2 + x} = 0\).

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Вводим замену: \(t = \sqrt{x^2 + x}\). Тогда \(t^2 = x^2 + x\). Исходное уравнение примет вид:
   \[3(x^2 + x) + \sqrt{x^2 + x} = 0\]
   \[3t^2 + t = 0\]
2. Шаг 2: Решаем квадратное уравнение относительно t:
   \[t(3t + 1) = 0\]
   Отсюда \(t = 0\) или \(t = -\frac{1}{3}\).
3. Шаг 3: Подставляем обратно:

• \(\sqrt{x^2 + x} = 0\)
  \[x^2 + x = 0\]
  \[x(x + 1) = 0\]
  \[x = 0\) или \(x = -1\).
• \(\sqrt{x^2 + x} = -\frac{1}{3}\) – решений нет, так как корень не может быть отрицательным.

Ответ: 0; -1