8*. На приеме в посольстве встретились две делегации, в каждой из которых было несколько дипломатов. Каждый дипломат одной делегации пожал руку каждому дипломату второй делегации. Сколько было членов в каждой делегации, если всего произошло 143 рукопожатия?

Пусть в первой делегации было $$n$$ дипломатов, а во второй - $$m$$ дипломатов. Каждый дипломат первой делегации пожал руку каждому дипломату второй делегации. Всего произошло $$n \times m = 143$$ рукопожатия. Нам нужно найти $$n$$ и $$m$$. Разложим 143 на простые множители: $$143 = 11 \times 13$$. Следовательно, $$n$$ и $$m$$ могут быть 11 и 13 (в любом порядке). Ответ: В одной делегации 11 дипломатов, а в другой 13 дипломатов.