43. Докажите, что в прямоугольном треугольнике с углом 30° ка- тет, противолежащий этому углу, равен половине гипотенузы.

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где ∠C = 90°, ∠A = 30°. Нужно доказать, что катет BC равен половине гипотенузы AB.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольник ABC. ∠A = 30°, ∠C = 90°. Тогда ∠B = 180° - ∠A - ∠C = 180° - 30° - 90° = 60°.

2. Продлим катет BC на отрезок CD, равный BC (CD = BC). Получим треугольник ABD.

3. Рассмотрим треугольники ABC и ADC. У них AC - общая сторона, BC = CD по построению, ∠ACB = ∠ACD = 90°. Значит, треугольники ABC и ADC равны по двум сторонам и углу между ними (по первому признаку равенства треугольников).

4. Из равенства треугольников следует, что AB = AD и ∠A = ∠D = 30°.

5. В треугольнике ABD: AB = AD, значит, треугольник ABD равнобедренный. ∠A = ∠D = 30°, тогда ∠ABD = 180° - ∠A - ∠D = 180° - 30° - 30° = 120°.

6. Найдем угол ∠ABC: ∠ABC = 180° - ∠B = 180° - 60° = 120°

7. Но мы знаем что ∠ABC = ∠ADC следовательно ∠ADC = 60°, но тогда ∠ABD = 60° (120/2).

8. Таким образом все углы треугольника ADC равны, отсюда он равносторонний и все стороны его равны

9. Из п. 3 и 4 мы получили что AB = AD = DC= BC отсюда DC = AB/2.

Ответ: Катет, противолежащий углу 30°, равен половине гипотенузы. Что и требовалось доказать.