39. Дан треугольник АВС. На продолжении стороны АС отложены отрезки AD = АВ и СЕ = СВ (рис. 89). Как найти углы треугольника ДВЕ, зная углы треугольника ABC?

Для решения задачи необходимо выразить углы треугольника DBE через углы треугольника ABC.

1. Рассмотрим треугольник ABD. Так как AD = AB, то треугольник ABD равнобедренный с основанием BD. Следовательно, углы при основании равны: ∠ADB = ∠ABD.

Угол ∠BAD является внешним углом треугольника ABC при вершине A, поэтому ∠BAD = ∠ABC + ∠ACB.

В треугольнике ABD: ∠ADB + ∠ABD + ∠BAD = 180°.

Так как ∠ADB = ∠ABD, то 2∠ADB + ∠BAD = 180°, следовательно, ∠ADB = (180° - ∠BAD) / 2 = (180° - (∠ABC + ∠ACB)) / 2.

2. Аналогично, рассмотрим треугольник BCE. Так как CE = CB, то треугольник BCE равнобедренный с основанием BE. Следовательно, углы при основании равны: ∠BEC = ∠EBC.

Угол ∠BCE является внешним углом треугольника ABC при вершине C, поэтому ∠BCE = ∠BAC + ∠ABC.

В треугольнике BCE: ∠BEC + ∠EBC + ∠BCE = 180°.

Так как ∠BEC = ∠EBC, то 2∠BEC + ∠BCE = 180°, следовательно, ∠BEC = (180° - ∠BCE) / 2 = (180° - (∠BAC + ∠ABC)) / 2.

3. Теперь найдем углы треугольника DBE.

∠DBE = 180° - ∠ABD - ∠EBC = 180° - (180° - (∠ABC + ∠ACB)) / 2 - (180° - (∠BAC + ∠ABC)) / 2.

Учитывая, что ∠ABC + ∠ACB + ∠BAC = 180°, получаем:

∠DBE = 180° - (180° - (180° - ∠BAC)) / 2 - (180° - (180° - ∠ACB)) / 2 = 180° - ∠BAC / 2 - ∠ACB / 2.

∠BDE = ∠ADB = (180° - (∠ABC + ∠ACB)) / 2.

∠BED = ∠BEC = (180° - (∠BAC + ∠ABC)) / 2.

Ответ: Углы треугольника DBE можно найти по формулам:

∠DBE = 180° - (∠BAC + ∠ACB) / 2

∠BDE = (180° - (∠ABC + ∠ACB)) / 2

∠BED = (180° - (∠BAC + ∠ABC)) / 2