9. В равнобедренном треугольнике один из внешних углов равен 60°. Высота, проведённая к боковой стороне, равна 5 см. Найдите основание треугольника.

Решение:

В равнобедренном треугольнике внешний угол может быть равен 60° в двух случаях:

1. Если внешний угол при основании равен 60°: Тогда внутренний угол при основании равен \( 180° - 60° = 120° \). Это невозможно, так как углы при основании равнобедренного треугольника должны быть равны и острыми.

2. Если внешний угол при вершине равен 60°: Тогда внутренний угол при вершине равен \( 180° - 60° = 120° \). Углы при основании равны \( (180° - 120°) / 2 = 30° \).

Рассмотрим второй случай. Пусть \( ∆ABC \) — равнобедренный треугольник с \( AB = BC \). Угол \( ∠ABC = 120° \), углы \( ∠BAC = ∠BCA = 30° \). Проведём высоту \( BH \) к боковой стороне \( AC \). Длина \( BH = 5 \) см.

В прямоугольном треугольнике \( ∆BHC \) (угол \( ∠BHC = 90° \)), угол \( ∠BCH = 30° \). В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в 30°, равен половине гипотенузы. Следовательно, \( BH = \frac{1}{2} BC \).

\( BC = 2 \cdot BH = 2 \cdot 5 \text{ см} = 10 \text{ см} \).

Так как треугольник равнобедренный, \( AB = BC = 10 \) см.

Теперь найдём основание \( AC \). В прямоугольном треугольнике \( ∆BHC \), мы можем найти \( HC \) по теореме Пифагора или через тригонометрию. Через тригонометрию: \( \tan(∠BCH) = \frac{BH}{HC} \) \( \tan(30°) = \frac{5}{HC} \) \( HC = \frac{5}{\tan(30°)} = \frac{5}{1/√3} = 5√3 \) см.

Основание \( AC = 2 ⋅ HC = 2 ⋅ 5√3 = 10√3 \) см.

Ответ: \( 10√3 \) см.