8. Решите уравнение:

Решение:

I) \( \cos(2x + \pi/6) = 1/2 \)

\( 2x + \pi/6 = \pm \pi/3 + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Случай 1: \( 2x + \pi/6 = \pi/3 + 2\pi n \) \( \implies 2x = \pi/3 - \pi/6 + 2\pi n = \pi/6 + 2\pi n \) \( \implies x = \pi/12 + \pi n \).

Случай 2: \( 2x + \pi/6 = -\pi/3 + 2\pi n \) \( \implies 2x = -\pi/3 - \pi/6 + 2\pi n = -\pi/2 + 2\pi n \) \( \implies x = -\pi/4 + \pi n \).

II) \( 3\sin^2x - 5\sin x - 2 = 0 \)

Пусть \( y = \sin x \). Уравнение: \( 3y^2 - 5y - 2 = 0 \).

Дискриминант \( D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49 \). \( \sqrt{D} = 7 \).

\( y_1 = (5 + 7) / (2 \cdot 3) = 12/6 = 2 \). \( y_2 = (5 - 7) / (2 \cdot 3) = -2/6 = -1/3 \).

Так как \( \sin x \) не может быть больше 1, \( \sin x = 2 \) — посторонний корень.

\( \sin x = -1/3 \) \( \implies x = \arcsin(-1/3) + 2\pi n \) или \( x = \pi - \arcsin(-1/3) + 2\pi n \).

\( x = -\arcsin(1/3) + 2\pi n \) или \( x = \pi + \arcsin(1/3) + 2\pi n \).

III) \( \cos(2x - \pi/2) = 0 \)

\( 2x - \pi/2 = \pi/2 + \pi n \) \( \implies 2x = \pi + \pi n \) \( \implies x = \pi/2 + \pi n/2 \).

IV) \( 6 - \cos^2x + 7 \cos x - 3 = 0 \)

\( -\cos^2x + 7\cos x + 3 = 0 \) \( \implies \cos^2x - 7\cos x - 3 = 0 \).

Пусть \( y = \cos x \). Уравнение: \( y^2 - 7y - 3 = 0 \).

Дискриминант \( D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 49 + 12 = 61 \).

\( y = (7 \pm \sqrt{61}) / 2 \).

Так как \( \cos x \) находится в пределах [-1, 1], а \( (7 + \sqrt{61}) / 2 > 1 \) и \( (7 - \sqrt{61}) / 2 < -1 \) (приблизительно \( (7 - 7.8)/2 = -0.4 \), но \( \sqrt{61} \) больше 7), то \( (7 - \sqrt{61}) / 2 \) также не подходит.

Ответ: I) \( x = \pi/12 + \pi n \), \( x = -\pi/4 + \pi n \); II) \( x = -\arcsin(1/3) + 2\pi n \), \( x = \pi + \arcsin(1/3) + 2\pi n \); III) \( x = \pi/2 + \pi n/2 \); IV) Решений нет.