9. У 10 г грузавы і легкавы аўтамабіль выехалі насустрач адзін аднаму з гарадоў, адлегласць паміж якімі 840 км. Яны сустрэліся ў 16 г. Калі б грузавы аўтамабіль выехаў бы ў 8 г, а легкавы аўтамабіль — у 12 г, то ў 16 г ім заставалася бы праехаць да сустрэчы 40 км. Знайдзіце скорасць легкавога аўтамабіля.

Рашэнне:

Дано:

• Пачатковая адлегласць: \( S = 840 \) км.
• Першы выезд: грузавы — 10 г, легкавы — 10 г. Сустрэча ў 16 г.
• Час у дарозе (першы выпадак): \( t_1 = 16 - 10 = 6 \) гадзін.
• Другі выезд: грузавы — 8 г, легкавы — 12 г.
• Адлегласць, якая засталася да сустрэчы ў 16 г (другі выпадак): \( S_{засталося} = 40 \) км.
• Час у дарозе (другі выпадак): грузавы — \( 16 - 8 = 8 \) гадзін, легкавы — \( 16 - 12 = 4 \) гадзіны.
• Знайсці: Скорасць легкавога аўтамабіля, \( v_л \).

Рашэнне:

1. Першы выпадак:
• Агульная скорасць збліжэння грузавога і легкавога аўтамабіляў роўная суме іх скорасцей: \( v_г + v_л \).
• Адлегласць, якую яны разам праехалі да сустрэчы: \( S = (v_г + v_л) · t_1 \).
• \( 840 = (v_г + v_л) · 6 \)
• \( v_г + v_л = \frac{840}{6} \)
• \( v_г + v_л = 140 \) (1)
2. Другі выпадак:
• У 16 гадзін ім засталося праехаць 40 км. Гэта значыць, што агульная адлегласць, якую яны праехалі разам, складае \( S_{праехалі} = 840 - 40 = 800 \) км.
• Агульная скорасць збліжэння тая ж: \( v_г + v_л \).
• Аднак, час у дарозе для кожнага аўтамабіля розны.
• Грузавы аўтамабіль ехаў \( t_{г2} = 16 - 8 = 8 \) гадзін.
• Легкавы аўтамабіль ехаў \( t_{л2} = 16 - 12 = 4 \) гадзіны.
• Праеханая адлегласць грузавым: \( S_г = v_г · t_{г2} = 8v_г \).
• Праеханая адлегласць легкавым: \( S_л = v_л · t_{л2} = 4v_л \).
• Сума праеханых адлегласцей: \( S_г + S_л = 800 \)
• \( 8v_г + 4v_л = 800 \)
• Раззелім на 4, каб спрасціць: \( 2v_г + v_л = 200 \) (2)
3. Вырашым сістэму ўраўненняў (1) і (2):
• З (1): \( v_г = 140 - v_л \).
• Падставім у (2):
• \( 2(140 - v_л) + v_л = 200 \)
• \( 280 - 2v_л + v_л = 200 \)
• \( -v_л = 200 - 280 \)
• \( -v_л = -80 \)
• \( v_л = 80 \) км/г.

Адказ: Скорасць легкавога аўтамабіля — 80 км/г.