10. Знайдзіце, пры якіх значэннях а і в рашэннем сістэмы ўраўненняў з'яўляецца пара лікаў (-1; 2).

Рашэнне:

Дадзена сістэма ўраўненняў:

\( \begin{cases} (a-3)x - by = 3b \\ ax - (2b-1)y = 3a - 11 \end{cases} \)

І дадзена, што рашэннем сістэмы з'яўляецца пара лікаў \( (-1; 2) \). Гэта значыць, што калі падставіць \( x = -1 \) і \( y = 2 \) у абодва ўраўненні, роўнасці будуць праўдзівыя.

Падставім у першае ўраўненне:

\( (a-3)(-1) - b(2) = 3b \)

\( -a + 3 - 2b = 3b \)

\( -a + 3 = 5b \)

\( 5b = 3 - a \) (1)

Падставім у другое ўраўненне:

\( a(-1) - (2b-1)(2) = 3a - 11 \)

\( -a - (4b - 2) = 3a - 11 \)

\( -a - 4b + 2 = 3a - 11 \)

\( -4b = 3a + a - 11 - 2 \)

\( -4b = 4a - 13 \)

\( 4b = 13 - 4a \) (2)

Цяпер вырашым сістэму з двух ураўненняў з двума невядомымі \( a \) і \( b \):

\( \begin{cases} 5b = 3 - a \\ 4b = 13 - 4a \end{cases} \)

З першага ўраўнення выразім \( a \):

\( a = 3 - 5b \)

Падставім гэтае значэнне \( a \) у другое ўраўненне:

\( 4b = 13 - 4(3 - 5b) \)

\( 4b = 13 - 12 + 20b \)

\( 4b = 1 + 20b \)

\( 4b - 20b = 1 \)

\( -16b = 1 \)

\( b = -\frac{1}{16} \)

Цяпер падставім значэнне \( b \) у \( a = 3 - 5b \):

\( a = 3 - 5(-\frac{1}{16}) \)

\( a = 3 + \frac{5}{16} \)

\( a = \frac{3 · 16}{16} + \frac{5}{16} \)

\( a = \frac{48}{16} + \frac{5}{16} \)

\( a = \frac{53}{16} \)

Адказ: \( a = \frac{53}{16}, b = -\frac{1}{16} \).