8. Рашыце сістэму ўраўненняў

Рашэнне:

Дадзена сістэма ўраўненняў:

\( \begin{cases} \frac{2x-y}{6} + \frac{2x+y}{9} = 3 \\ \frac{x+y}{3} - \frac{x-y}{4} = 4 \end{cases} \)

Спачатку спрасцім кожнае ўраўненне, прывёўшы да агульнага назоўніка.

Першае ўраўненне: Агульны назоўнік для 6 і 9 — 18.

\( \frac{3(2x-y)}{18} + \frac{2(2x+y)}{18} = 3 \)

\( \frac{6x - 3y + 4x + 2y}{18} = 3 \)

\( 10x - y = 3 · 18 \)

\( 10x - y = 54 \) (1)

Другое ўраўненне: Агульны назоўнік для 3 і 4 — 12.

\( \frac{4(x+y)}{12} - \frac{3(x-y)}{12} = 4 \)

\( \frac{4x + 4y - 3x + 3y}{12} = 4 \)

\( x + 7y = 4 · 12 \)

\( x + 7y = 48 \) (2)

Цяпер вырашым атрыманую сістэму лінейных ураўненняў:

\( \begin{cases} 10x - y = 54 \\ x + 7y = 48 \end{cases} \)

З другога ўраўнення выразім \( x \):

\( x = 48 - 7y \)

Падставім гэтае значэнне \( x \) у першае ўраўненне:

\( 10(48 - 7y) - y = 54 \)

\( 480 - 70y - y = 54 \)

\( -71y = 54 - 480 \)

\( -71y = -426 \)

\( y = \frac{-426}{-71} \)

\( y = 6 \)

Цяпер падставім \( y = 6 \) у \( x = 48 - 7y \):

\( x = 48 - 7(6) \)

\( x = 48 - 42 \)

\( x = 6 \)

Адказ: \( x = 6, y = 6 \).