15.) Точки C и D расположены по разные стороны от прямой AB так, что AD = AC, BD = DC. Докажите, что AB — биссектриса угла DAC.

Решение:

Рассмотрим треугольник ADC. AD = AC, значит, треугольник ADC равнобедренный. BD = DC, значит, треугольник BDC равнобедренный.

В равнобедренном треугольнике ADC, если провести медиану из вершины A к основанию DC, она будет также высотой и биссектрисой. Аналогично в равнобедренном треугольнике BDC.

Рассмотрим треугольники ABD и ABC:

• AB — общая сторона.
• AD = AC (по условию).
• BD = BC (по условию).

По трем сторонам (III признак равенства треугольников), треугольник ABD равен треугольнику ABC.

Из равенства треугольников следует, что \( \angle DAB = \angle CAB \). Следовательно, AB является биссектрисой угла DAC.

Доказано.