14.) AD и CE — биссектрисы равнобедренного треугольника с основанием AC. Докажите, что Δ AEC = Δ CDA.

Решение:

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC углы при основании равны: \( \angle BAC = \angle BCA \). AD и CE — биссектрисы, значит:

\( \angle CAD = \frac{1}{2} \angle BAC \)

\( \angle ACE = \frac{1}{2} \angle BCA \)

Следовательно, \( \angle CAD = \angle ACE \).

Рассмотрим треугольники AEC и CDA:

• \( \angle CAE = \angle ACD \) (углы при основании равнобедренного треугольника ABC).
• AC — общая сторона.
• \( \angle ACE = \angle CAD \) (так как AD и CE — биссектрисы равных углов при основании).

По стороне и двум прилежащим к ней углам (I признак равенства треугольников), треугольник AEC равен треугольнику CDA.

Доказано.