12.) На медиане СМ равнобедренного треугольника АВС с основанием АВ взята точка О. Докажите, что треугольник АОВ равнобедренный.

Решение:

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AB медиана CM является также высотой и биссектрисой. Следовательно, CM ⊥ AB и ∠ACO = ∠BCO.

Рассмотрим треугольники AOC и BOC:

• AC = BC (по условию, так как треугольник ABC равнобедренный).
• ∠ACO = ∠BCO (так как CM — биссектриса).
• OC — общая сторона.

По двум сторонам и углу между ними (II признак равенства треугольников), треугольник AOC равен треугольнику BOC.

Из равенства треугольников следует, что AO = BO. Следовательно, треугольник AOB является равнобедренным.

Доказано.