14. В угол С величиной 40° вписана окружность, которая касается сторон угла в точках А и В, точка О центр окружности. Найдите угол АОВ. Ответ дайте в градусах

Решение:

1. Так как окружность вписана в угол и касается его сторон в точках \( A \) и \( B \), то \( OA \) и \( OB \) — радиусы, проведённые к точкам касания. Следовательно, \( OA \perp \) сторона угла, проходящая через \( A \), и \( OB \perp \) сторона угла, проходящая через \( B \).
2. Угол \( C \) равен \( 40° \).
3. Рассмотрим четырёхугольник \( AOCB \). Сумма углов в четырёхугольнике равна \( 360° \).
4. Углы \( \angle CAO \) и \( \angle CBO \) равны \( 90° \), так как радиус, проведённый к точке касания, перпендикулярен касательной.
5. \( \angle AOB + \angle CAO + \angle C + \angle CBO = 360° \)
6. \( \angle AOB + 90° + 40° + 90° = 360° \)
7. \( \angle AOB + 220° = 360° \)
8. \( \angle AOB = 360° - 220° = 140° \).

Ответ: 140.